ข้อ 1: การพัฒนาเชิงตรรกะจากมิติเดียวสู่สองมิติ
จุดบนแกนจำนวนสามารถระบุตำแหน่งได้ด้วยจำนวนจริงเพียงตัวเดียว ขณะที่จุดในระนาบอยู่ในสองมิติที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน เมื่อกำหนดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในระนาบแล้ว สำหรับจุดใดๆ $M$ ในระนาบพิกัด จะมีคู่ของจำนวนจริงที่มีลำดับ $(x, y)$ เพียงคู่เดียวที่สอดคล้องกับมัน; กลับกัน สำหรับคู่ของจำนวนจริงที่มีลำดับ $(x, y)$ ใดๆ ในระนาบพิกัด จะมีจุด $M$ เพียงจุดเดียวที่สอดคล้องกับมัน ความสัมพันธ์แบบนี้ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งเป็นหัวใจสำคัญของแนวคิดการรวมกันระหว่างตัวเลขกับรูปร่าง
คู่อันดับที่มีลำดับคือคู่ของจำนวนสองจำนวน $a$ และ $b$ ที่มีลำดับเฉพาะ ซึ่งเรียกว่า คู่อันดับที่มีลำดับ และเขียนแทนด้วย $(a, b)$
คำว่า 'มีลำดับ' หมายความว่า $(x, y) \neq (y, x)$ (ยกเว้นกรณีที่ $x=y$) ลำดับจะกำหนดคุณสมบัติของทิศทางที่ตัวเลขแทน (คือการเลื่อนตามแนวนอนหรือแนวตั้ง)
ข้อ 2: การแสดงผลแบบสองทางที่มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
การแทนที่นี้ทำให้มั่นใจว่า 'ตัวเลข' สามารถอธิบายตำแหน่งของ 'รูปร่าง' ได้อย่างแม่นยำ และ 'รูปร่าง' สามารถสะท้อนลักษณะของ 'ตัวเลข' ได้โดยตรง ทำให้รูปร่างทางเรขาคณิตในระนาบสามารถประมวลผลด้วยพีชคณิตได้ เราสรุปความสัมพันธ์นี้เป็น:
- ใช้ตัวเลขเพื่อวิเคราะห์รูปร่างคือ การคำนวณพื้นที่ ความยาวรอบรูป หรือตรวจสอบความสัมพันธ์ด้านตำแหน่ง โดยใช้พิกัด
- ใช้รูปร่างช่วยเข้าใจตัวเลขคือ การเข้าใจลักษณะของฟังก์ชันหรือคำตอบของสมการได้โดยการสังเกตภาพกราฟอย่างเป็นธรรมชาติ